Unidad III - Algebra

3.1 - Operaciones algebráicas

a) Adición y sustracción de polinomios

Símbolos de agrupación.

Se utilizan los paréntesis, las llaves y los corchetes para señalar más de una operación en una expresión, alteran la jerarquía de los operadores ya que se resolverá primero lo que esté dentro de adentro hacia afuera en la expresión.

Ejemplo:
1. 2x-(5x-2y)+(x-6y)
=2x-5x+2y+x-6y
=-2x-4y

b) Multiplicación de polinomios
- Leyes para multiplicar números reales -

1. Ley conmutativa: (reacomodo): ab=ba
2. Ley asociativa: (mosquetero): (ab)c
3. Ley distributiva (mosquetero): a(b+c)=ab+ac
4. Leyes de los signos:
(+a)(+b)= +ab
(-a)(+b)= -ab
(+a)(-b)= -ab
(-a)(-b)= +ab
5. Potencias
a^m*a^n= a^m+n

Si a es diferente de cero.

Cuando se multiplican dos polinomios se considera el primero en una sola cantidad y se aplica la ley distributiva por el segundo.

Ejemplo:
1. (x+2)(x+3)
= x^2+3x+2x+6
= x^2+5x+6

c) División de polinomios
\frac{a^m}{a^n} = a^m-n

3.2 - Factorización
Factorizar es descomponer un polinomio como producto de otros polinomios, donde cada polinomio del producto es un factor del polinomio original.

- Factorización de un trinomio cuadrático -
Ejemplo:
x^2+8x+15 = (x+5)(x+3)

- Factorización por factor común -
Para factorizar por factor común se busca el término que se repita en todos los términos de la expresión, de tal manera que si se multiplicara el factor resultante por el factor común se obtenga la expresión original
Ejemplo:
10x^3yz^4+15xy^4z^3-20x^2y^2z^2 = (5xyz^2)(2x^2z^2+3y^3z-4xy)

- factorización por agrupación -
En éste caso se separan en dos partes los términos de la expresión y cada uno se factoriza por separado, si en el resultado quedara otro factor común, se volvería a aplicar el método de factorización.
Ejemplo:
ac+ad+bc+bd = a(c+d)+b(c+d) = (a+b)(c+d)

3.3 - Operaciones con fracciones
- Reglas básicas relacionadas con fracciones -
1. Multiplicación
\frac{a}{b}*\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

2. Suma
\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}

3. Resta
\frac{a}{b}-\frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}

4. División
\frac{a}{b}/\frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}

3.4 - Operaciones con fracciones con MCD (mínimo común denominador)
- Paso 1:
Factorizar los denominadores de las fracciones en caso de que sea necesario.
- Paso 2:
Encontrar el MCD de las fracciones.
- Paso 3:
Dividir el MCD entre cada denominador y el cociente multiplicarlo por el numerador en cada fracción.
- Paso 4:
Efectuar las operaciones indicadas.

3.5 - Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal tiene la forma ax+b=0, donde el coeficiente de la variable es igual a 1. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución y se les pueden aplicar las siguientes propiedades.

- Propiedad aditiva:
Si p(x)=q(x) es una ecuación, entonces
p(x)+c=q(x)+c es una ecuación equivalente

- Propiedad multiplicativa:
Si p(x)=q(x) es una ecuación y c es diferente de cero, entonces
p(x)*c=q(x)*c es una ecuación equivalente.

Como la resta es el inverso de la suma, y la división es el inverso de la multiplicación, si restamos o dividimos en ambos lados el mismo término se obtienen ecuaciones equivalentes.

Ejemplo:
1. 8x-1=23-4x
8x+4x=23+1
12x=24
x=\frac{24}{12}
x=2

3.6 - ecuaciones
Una ecuación tiene la forma general
ax^2+bx+c=0
y para resolverla existen dos métodos:
de factorización y el de la ley general de la ecuación cuadrática.
- Método por factorización
si a*b=0 => a=0 ó b=0
Ejemplo:
1. 5x^2-25x=0
5x(x-5)=0
5x=0 x-5=0
x=0 x=5

- Método utilizando la fórmula general de la ecuación cuadrática

x=\frac{-b +- \sqrt(b^2-4ac)}{2a}