Se puede decir que los números reales son todos aquellos números que poseen ua expansión decimal.
Numeros racionales:
Son aquellos que pueden expresar como el cociente de dos numeros enteros.
Ejemplo:
\frac{3}{4}, 5, 0, \frac{1}{2}, etc.
Números irracionales:
Son aquellos que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros.
Ejemplo:
\sqrt {2}, \prod, \frac {\sqrt (7+1)}{2}
Subconjuntos importantes de los números reales
Números naturales:
N={0,1,2,3,...}
Enteros positivos:N+={0,1,2,3,...}
Números enteros: Z={...-2,-1,0,1,2,...}
Números racionales:Q=x:x=\frac {a}{b}
Números irracionales:Todos los demás
2.1 - Propiedades básicas
- Asociativa de la suma
Se puede cambiar el orden de los parentesis en varios términos que se están sumando y el resultado sigue siendo el mismo.
- Conmutativa de la suma
Se puede cambiar el orden de los términos en una suma y el resultado es el mismo.
a+b=b+a
- Conmutativa de la multiplicación
Podemos cambiar el orden de los términos y le resultado es el mismo.
a*b=b*a
- Elemento inverso aditivo
Todo número sumado con su inverso es igual a cero.
a+(a^-1)=0
- Elemento neutro aditivo
Todo número sumado con cero no altera su valor.
a+0=a
- Elemento inverso multiplicativo
Todo número multiplicado con su inverso es igual a la unidad.
a*(a^-1)=1
- Elemento neutro multiplicativo
Todo número multiplicado por la unidad no altera su valor
a*1=a
- Asociativa de la multiplicación
Si un número está multiplicando a un paréntesis con varios números dentro, multiplica a uno si la operación entro del paréntesis es una multiplicación.
a*(b*c)=(a*b)*c
- Distributiva
Si un número está multiplicando a un paréntesis con varios números adentro, multiplicará a todos si la operación dentro del paréntesis es una suma.
a*(b+c)=a*b+a*c
Ejemplos:
a(b+c+d)=ab+ac+ad
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
(2x+3y)(5x-y)=10x^2-2xy+15xy-3y^2
2.2 - Sintaxis y semántica
- Tipos de operadores
1. aritméticos:
+, -, *, /, mod.
2. relacionales:=, <, >, etc.
3. lógicos: and (y), or (o), not (no).
4. alfanumérico:+ (concatenar expresiones), = (asignación).
5. asociativo:
(), [], {}.
2.3 - Sustitución algebráica
Es el método a través del cuál se evalúa una expresión para obtener su resultado. Para realizarlo, primero se debe elaborar el árbol sintáctico de la expresión y después sustituir los valores de las incógnitas.
Ejemplo:
ab+c, si a=2, b=3, c=-4
2.4 - Conceptos matemáticos
2.4.1 - Resta
La operación de sustracción o resta (a-b) en el conjunto de los numeros reales (R) está referida mediante la adicción del inverso aditivo de b. Es decir:
a-b = a+(-b), que se localiza a la izquierda del cero en el conjunto de los números enteros (Z), de tal forma que:
N = {1, 2, 3, ...}
Ñ=
{-1, -2, -3, ...}
Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Ejemplos:1. (-8)+6 = -8-6 = -2
2. 10-(-6) = 10+6 = 16
3. 5-8 = -8+5 = -3
2.4.2 - MultiplicaciónPara realizar se refiere requerir:
a) el producto de un entero positivo por un entero negativo:
Si a, b pertenece a los números reales (R), entonces (-a)(-b) = ab
Ejemplos:
1. 3(-4) = -12
2. (-6)(-9) = 54
3. 2(-5) = -10
2.4.3 - DivisiónLa división de a/b se define como el producto de a por el inverso multiplicativo de b. Es decir:
a/b = a*1/b
para toda b diferente de cero.2.4.4 - Polinomio
Es una expresión con varios términos donde aparecen únicamente sumas, restas o productos de números reales o variables donde los exponentes son enteros no negativos.
Ejemplo:
5a-6cde
7xy+az-2b+3
- Grado de un polinomio
En una expresión el grado del polinomio será el del mayor número con respecto a un número o variable.
Ejemplos:
3x^4+5x^3+7x^2-4
x^8+9x^2-2x
5x^2+2
2.4.5 - Raíces
--> Raíz cuadrada
La raíz cuadrada de cualquier número (x), es un número no negativo (y), tal que:
y^2=x
y se representa por:\sqrt (x) o x^1/2
- Propiedades
\sqrt (ab) = \sqrt (a) \sqrt (b)
2.4.6 - Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad matemática con variables. También se dice que es un enunciado de dos expresiones algebráicas unidas por el símbolo de igualdad.
Ejemplos:
4(x-3) = 4x-12
x+2 = 10
Un valor de una variable es la solución si al sustituir el valor por la variable se obtiene una proposición verdadera.
2.4.7 - Funciones
Es un conuunto de pares ordenados tales que no hay dos pares con el mismo primer elemento y us notación es la siguiente:
f: A-B
- Dominio de una función Es el conjunto de los dos primeros elementos en los pares ordenados en una función y su notación es la siguiente:
DOM(F)
- Rango de una funciónEs el conjunto formado por los segundos elementos de una función. Su notación es:
RAN(F)
- Tipos de funciones
1. Función lineal
2. Funcion cuadrática
3. Función racional lineal
4. función trigonométrica
5. Función logarítmica
7. función raíz
8. Función exponencial
2.4.8 - Valor absoluto
El valor absoluto de un número llamado a se denota de la siguiente manera:
|a|
Es uno de los dos números +a ó -a, el cual sea positivo o incluso cero, si el resultado de a=0.
Ejemplos:
1. |3|=3
2. |-10|=-(10)=10
3. |8-6|=|2|=2
4. |7-15|=|-8|=8
